高考备考

  高考数学备考:数学八大诀窍

时间:2021-06-21 15:42:00 高考备考 我要投稿

  高考数学备考:数学八大诀窍

  高考数学备考:数学八大诀窍

  1.认真研读《说明》《考纲》

  高考数学备考:数学八大诀窍

  《考试说明》和《考纲》是每位考生必须熟悉的最权威最准确的高考信息,通过研究应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。

  纵观这几年我省的高考,我们发现命题通常注意试题背景,强调数学思想,注重数学应用;试题强调问题性、启发性,突出基础性;重视通性通法,淡化特殊技巧,凸显数学的问题思考;强化主干知识;关注知识点的衔接,考察创新意识。

  《考纲》明确指出“创新意识是理性思维的高层次表现”。因此试题都比较新颖,活泼。所以复习中你就要加强对新题型的练习,揭示问题的本质,创造性地解决问题。

  2.多维审视知识结构

  高考数学试题一直注重对思维方法的考查,数学思维和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。知识是思维能力的载体,因此通过对知识的考察达到考察数学思维的目的。你要建立各部分内容的知识网络;全面、准确地把握概念,在理解的基础上加强记忆;加强对易错、易混知识的梳理;要多角度、多方位地去理解问题的实质;体会数学思想和解题的方法。

  3.把答案盖住看例题

  参考书上例题不能看一下就过去了,因为看时往往觉得什么都懂,其实自己并没有理解透彻。所以,在看例题时,把解答盖住,自己去做,做完或做不出时再去看,这时要想一想,自己做的哪里与解答不同,哪里没想到,该注意什么,哪一种方法更好,还有没有另外的解法。经过上面的训练,自己的思维空间扩展了,看问题也全面了。如果把题目的来源搞清了,在题后加上几个批注,说明此题的“题眼”及巧妙之处,收益将更大。

  4.研究每题都考什么

  数学能力的提高离不开做题,“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术,要通过一题联想到很多题。你要着重研究解题的思维过程,弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用,研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径,在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。

  一节课与其抓紧时间大汗淋淋地做二、三十道考查思路重复的题,不如深入透彻地掌握一道典型题。例如深入理解一个概念的多种内涵,对一个典型题,尽力做到从多条思路用多种方法处理,即一题多解;对具有共性的问题要努力摸索规律,即多题一解;不断改变题目的条件,从各个侧面去检验自己的知识,即一题多变。—道题的价值不在于做对、做会,而在于你明白了这题想考你什么。

  5.答题少费时多办事

  解题上要抓好三个字:数,式,形;阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化(文字语言、符号语言、图形语言)。要重视和加强选择题的训练和研究。不能仅仅满足于答案正确,还要学会优化解题过程,追求解题质量,少费时,多办事,以赢得足够的时间思考解答高档题。要不断积累解选择题的经验,尽可能小题小做,除直接法外,还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法来解题。在做解答题时,书写要简明、扼要、规范,不要“小题大做”,只要写出“得分点”即可。

  6.错一次反思一次

  每次考试或多或少会发生些错误,这并不可怕,要紧的是避免类似的错误在今后的考试中重现。因此平时注意把错题记下来,做错题笔记包括三个方面: (1)记下错误是什么,最好用红笔划出。(2)错误原因是什么,从审题、题目归类、重现知识和找出答案四个环节来分析。(3)错误纠正方法及注意事项。根据错误原因的分析提出纠正方法并提醒自己下次碰到类似的情况应注意些什么。你若能将每次考试或练习中出现的错误记录下来分析,并尽力保证在下次考试时不发生同样错误,那么在高考时发生错误的概率就会大大减少。

  7.分析试卷总结经验

  每次考试结束试卷发下来,要认真分析得失,总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类。(1)遗憾之错。就是分明会做,反而做错了的题; (2)似非之错。记忆得不准确,理解得不够透彻,应用得不够自如;回答不严密、不完整等等。(3)无为之错。由于不会答错了或猜的,或者根本没有答,这是无思路、不理解,更谈不上应用的问题。原因找到后就消除遗憾、弄懂似非、力争有为。切实解决“会而不对、对而不全”的老大难问题。

  8.优秀是一种习惯

  柏拉图说:“优秀是一种习惯”。好的习惯终生受益,不好的习惯终生后悔、吃亏。如“审题之错”是否出在急于求成?可采取“一慢一快”战术,即审题要慢,要看清楚,步骤要到位,动作要快,步步为营,稳中求快,立足于一次成功,不要养成唯恐做不完,匆匆忙忙抢着做,寄希望于检查的坏习惯。

  另外将平常的考试看成是积累考试经验的重要途径,把平时考试当作高考,从各方面不断的调试,逐步适应。注意书写规范,重要步骤不能丢,丢步骤等于丢分。根据解答题评卷实行“分段评分”的特点,你不妨做个心理换位,根据自己的实际情况,从平时做作业“全做全对”的要求中,转移到“立足于完成部分题目或题目的部分”上来,不要在一道题上花费太多时间,有时放弃可能是最佳选择。

  【总结】数学八大诀窍就为大家介绍到这儿了,在高三阶段,大家也应该要多了解一些高考备考知识,为高考而做准备。

  浏览了本文的同学也浏览了:

  昨天火腿,今天猪排

  阿德里安、布福德和卡特三人去餐馆吃饭,他们每人要的不是火腿就是猪排。

  (1)如果阿德里安要的是火腿,那么布福德要的就是猪排。

  (2)安德里安或卡特要的是火腿,但是不会两人都要火腿。

  (3)布福德和卡特不会两人都要猪排。

  谁昨天要的是火腿,今天要的是猪排?

  (提示:判定哪些人要的菜不会变化。)

  答 案

  根据{(1)如果阿德里安要的是火腿,那么布福德要的就是猪排和(2)安德里安或卡特要的是火腿,但是不会两人都要火腿。},如果阿德里安要的是火腿,那么布福德要得就是猪排,卡特要得也是猪排。这种情况与{(3)布福德和卡特不会两人都要猪排。}矛盾。因此,阿德里安要得只能是猪排。

  于是,根据{(2)安德里安或卡特要的是火腿,但是不会两人都要火腿。},卡特要得只能是火腿。

  因此,只有布福德才能昨天要火腿,今天要猪排。

  2016中考重中之重:语文基本功

  编者按:小编为大家收集了“2013中考重中之重:语文基本功”,供大家参考,希望对大家有所帮助!

  现在有一句颇为流行的行业话语似乎道出了语文在中考里的分量“成也语文,败也语文。 ”既然成败在此一举,那么是不是每一个初三毕业生都格外地重视语文呢?其实恰恰相反!

  正如很多行家所指出的,很多初三的学生认为:学习语文(复习语文)可有可无。究其原因有很多,其一是来自其他各个学科的压力。当然更多的还是来自语文本学科的问题:比如因为语文的环节头绪众多,无从下手,干脆放手,造成一部分的“自暴自弃”型;比如因为语文较数理化等学科成绩提高缓慢,还不如多抓其他学科来得快,索性弃之不顾,又造成一部分“自我膨胀”型。而我想说的是,其实多数学生只看到了事务的表面,没有抓住语文学科的根本。因为基础知识,基本技能等基本功是解决语文试题,打开思路以及提高成绩的关键,这些基本功是我们学习母语从小到大,一直以来的习惯和积累,到了初三经过近九年的学习已经基本水到渠成,可以说不必再花费过多的时间和精力,只需按部就班,持之以恒,就会大有所获。所以,我以为,对于语文学科此时不仅不应该丢弃,而更应该乘胜追击。

  《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》中明确规定现代文阅读共计18个知识点,文言文阅读共计8个知识点,写作能力共计6个知识点的考察范围,几乎都集中在语文基础知识,基本技能等基本功方面;而且,根据上海市中考命题要求,考试难度应保持在8:1:1——7:2:1的范围内,也就是说,难度系数不大。所以,只要掌握了基础知识和基本技能就等于掌握了中考语文的半壁江山。

  那么中考语文基本功又包括那些内容呢?

  首先是写字,书写之功

  众所周知,书写与口语表达一样,同是交流的重要渠道。说出话来是为了让人听明白;而写出字来是为了让人看明白。“书写规范,字迹清晰”是中考语文写字能力六点要求之首,同时“书写整洁”和“错别字”还占卷面3分!由此看来,写字这项基本功还包括消灭错别字和纠正错别字的能力及要求。

  因为《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》对这方面的规定是:能正确书写3500个常用汉字。所以只有多写,多读,认真加以甄别,才能将这项能力掌握,也才能消灭错别字,做到书写正确无误。

  其次是积累,日久之功

  我相信同学们对语文的积累一直以来从未间断过。从语文学科的特性来说,积累的途径虽然多种多样,但尽管已经步入初三,最原始首选的方法还是读、背、默。也许并不新鲜但极为有效,这是我们的祖先千百年来总结出的智慧精华。因为多读方能形成语感;多背才能积少成多;多默就能长久不忘。关键在于久而久之,由量变到质变,然后还可以推陈出新,逐渐就达到了 “熟读唐诗三百首,不会作诗也会诌”的境界。

  另外,读、背、默是学习各种知识的基本功,不亚于武功,经过日久天长的训练,功夫自会上身,到那时将受益终生。我们熟知的大师级人物比如:鲁迅、钱钟书、郭沫若等就是不仅具有过人的记忆能力,乃至过目不忘;而且具有超强的阅读能力,以致一目十行。而《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》中规定的现代文阅读的第2、3、4知识点,文言文阅读的第1、2、3、4知识点均是考察积累能力的。所以初三学生面对大量的记忆和背默练习,不仅不能厌烦,而且要从严、从细,达到精益求精。

  第三是方法,应变之功

  作为学生应该非常清楚,在解题时只要方法得当,问题往往迎刃而解。学习方法和解题思路是万变不离其宗的,因此更加需要我们在这方面多用一点心思。

  就《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》中规定的现代文、文言文以及写作的诸多知识点都是有规律可寻,有方法可依的。比如修辞手法,说明方法,人物描写,环境描写以及表达方式,结构语言等都各有特点且作用不同。只要我们认识其规律,掌握应对的方法,即使题型千变万化也可以应付自如。最切实的做法是,抛弃急于求成,一蹴而就的杂念,重视文本的示范作用,上好每一堂语文课。每遇到一个题型,一个知识点,都应该视为典型案例,抓紧不放,不仅搞懂而且学会;不浪费任何一次练习、测试的机会,运用学过的方法反复操练,以期达到真正掌握。

  最后是表达,严谨之功

  目前不少学生都热衷于口头表达而疏于书面表达,可中考以及各种应试目前仍停留在笔试即书面表达的层面。即便有些学生已经意识到书面表达的重要性但似乎也是更重视思路而不在意字斟句酌的缜密表达。其结果是每次考试整张试卷东扣一分,西丢两分,成绩很难有明显的提高。正确的书面表达应做到:细致、周密,重点突出而言简意赅。《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》规定中对大多数知识点的要求都是 “能够指出作用,分析效果”。还有些需要根据文意,对文章、语段的思想内容,表达方式,结构,语言等特点发表自己的感受和见解。比如:修辞手法,要求能在具体语言环境中,理解修辞方法的表达效果。另如:“能把握文中句子的含义,能分析句子或段落的表达作用,能概括文章要点或主旨。 ”文言文也有类似的要求“能理解和把握诗词的基本内容和作者的感情倾向并做出分析”……可是学生中普遍存在着对此类问题的解答大而化之的现象。他们往往只是笼统地回答出类似“铺垫”“对比”“强调”等空洞的词语。考纲要求的完整表达则应该突出实质性的问题。比如:“用什么,怎样,为什么做铺垫”“拿什么,与哪些内容做对比,其作用、效果怎样? ”“用什么,怎样强调,强调什么? ”……

  综上所述,根据《2009年上海市初中毕业统一学业考试考试手册》的相关要求,初三学生对待语文学科的学习和复习正确的态度应该是,既不能急功近利,又不可以无欲无求。只能用平常的心态,稳定的情绪和一如既往的持之以恒精神,有一种 “但问耕耘,不问收获”的坚守,要本着一直以来对母语的热爱和积累,多一点对问题的深挖细究,梳理总结,反思提升,相信功到自然成,水到渠自成,积少成多,最终达到质的飞跃。

  以上就是为大家提供的“2013中考重中之重:语文基本功”希望能对考生产生帮助,更多资料请咨询中考频道。

  高中数学必修(棱锥定义与公式)

  除了课堂上的学习外,平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径,本文为大家提供了高中数学必修(棱锥定义与公式),祝大家阅读愉快。

  棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形.

  [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

  ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以.

  ⑴①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.

  [注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)

  ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

  iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.

  ②正棱锥的侧面积:(底面周长为,斜高为)

  ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式:(侧面与底面成的二面角为)

  附:以知⊥,,为二面角.

  则①,②,③ ①②③得

  注:S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).

  本文就是为大家整理的高中数学必修(棱锥定义与公式),希望能为大家的学习带来帮助,不断进步,取得优异的成绩。

  高三数学学习方法:冲刺易高考易错点平面解析几何

  【摘要】鉴于大家对十分关注,小编在此为大家整理了此文“高三数学学习方法:冲刺易高考易错点平面解析几何”,供大家参考!

  本文题目:高三数学学习方法:冲刺易高考易错点平面解析几何

  一、高考预测

  解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系,该部分内容是整个解析几何的基础,在解析几何的知识体系中占有重要位置,但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程,故在该部分高考考查的分值不多,在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题,偏向于考查直线与圆的综合,试题难度不大,对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根据近年来各地高考的情况,解析几何初步的考查是稳定的,预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法,而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用.

  圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有1~2个选择题或者填空题,一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,试题考查主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预计2012年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化.

  解析几何的知识主线很清晰,就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质,复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用,数形结合思想占首位,其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想,如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值.复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.

  二、知识导学

  (一)直线的方程

  1.点斜式: ;2. 截距式: ;

  3.两点式: ;4. 截距式: ;

  5.一般式: ,其中A、B不同时为0.

  (二)两条直线的位置关系

  两条直线 , 有三种位置关系:平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交.

  设直线 : = + ,直线 : = + ,则

  ∥ 的充要条件是 = ,且 = ; ⊥ 的充要条件是 =-1.

  (三)圆的有关问题

  1.圆的标准方程

  (r>0),称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b),半径为r.

  特别地,当圆心在原点(0,0),半径为r时,圆的方程为 .

  2.圆的一般方程

  ( >0)称为圆的一般方程,

  其圆心坐标为( , ),半径为 .

  当 =0时,方程表示一个点( , );

  当<0时,方程不表示任何图形.

  3.圆的参数方程

  圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

  (θ为参数)

  (θ为参数)

  (四) 椭圆及其标准方程

  1. 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 、 的距离的和大于 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于 ,则这样的点不存在;若距离之和等于 ,则动点的轨迹是线段 .

  2.椭圆的标准方程: ( > >0), ( > >0).

  3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 项的分母大于 项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.

  4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.

  (五)椭圆的简单几何性质

  1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为 ( > >0).

  ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.

  ⑵ 对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

  ⑶ 顶点:有四个 (-a,0)、 (a,0) (0,-b)、 (0,b).

  线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.

  ⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0

  椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

  (六)椭圆的参数方程

  椭圆 ( > >0)的参数方程为 (θ为参数).

  说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同: ;

  ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

  (七)双曲线及其标准方程

  1. 双曲线的定义:平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a(小于 )的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a< ,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a= ,则动点的轨迹是两条射线;若2a> ,则无轨迹.

  若 < 时,动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 > 时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.

  2. 双曲线的标准方程: 和 (a>0,b>0).这里 ,其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

  1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是 和 .在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有 与 的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.

  (九)抛物线的标准方程和几何性质

  1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。

  需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。

  2.抛物线的方程有四种类型: 、 、 、 .

  对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

  3.抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例

  (1)范围:x≥0;

  (2)对称轴:对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出;

  (3)顶点:O(0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);

  (4)离心率:e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;

  (5)准线方程 ;

  (6)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 的点.

  那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).

  注意事项

  1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为x=a(a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率k存在与否,要分别考虑.

  ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距,因为a≠0,b≠0,所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,而应选择其它形式求解.

  ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式.

  ⑷当直线 或 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

  ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的运用,这样可以简化计算.

  2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在x轴上还是y轴上,还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行a、b、c、e间的互求,并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.⑷双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ,即 ,那么双曲线的方程具有以下形式: ,其中k是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个 和 (a>0,b>0).这里 ,其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数p的值.同时,应明确抛物线的'标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个.

  解题的策略有:1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在,可以设成 ,包含斜率不存在情况,但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况;注意点关于直线对称问题(光线的反射问题);注意证明曲线过定点方法(两种方法:特殊化、分离变量)2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题;注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离;注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径,而面积最大时,是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量(注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化)结合;4、注意构建平面上的三点模型求最值,一般涉及“和”的问题有最小值,“差”的问题有最大值,只有当三点共线时才取得最值;5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法:待定系数法或定义法,注意焦点位置的讨论,注意双曲线的渐近线方程:焦点在轴上时为 ,焦点在 轴上时为 ;注意化抛物线方程为标准形式(即2p、p、的关系);注意利用比例思想,减少变量,不知道焦点位置时,可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题;熟练掌握求离心率的题型与方法,特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法,减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题:产生不等式的条件一般有:①“ 法”;②离心率 的范围;③自变量 的范围;④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围;注意寻找两个变量的关系式,用一个变量表示另一个变量,化为单个变量,建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法, 注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法:①直接法;★②几何法;★③定义法;★④相关点法; 9、注意利用向量方法, 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出;注意将有关向量的表达式合理变形;特别注意遇到角的问题,可以考虑利用向量数量积解决;10、注意存在性、探索性问题的研究,注意从特殊到一般的方法。

  三、易错点点睛

  命题角度1对椭圆相关知识的考查

  1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FlPF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )

  [考场错解] A

  [专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义,错误地把 当作离心率.

  [对症下药] D 设椭圆的方程为 =l (a,b >0) 由题意可设PF2=F1F2=k,PF1= k,则e=

  2.设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( )

  A.±2 B.± C.± D.±

  [考场错解] D 由题意得a=5,b=3,则c=4而双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点,则a=c =4,b=3 ∴k=

  [专家把脉] 没有很好理解a、b、c的实际意义.

  [对症下药] C 设双曲线方程为 =1,则由题意知c=5, =4 则a2=20 b2=5,而a=2 b= ∴双曲线渐近线斜率为± =

  3.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 =1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)‖x<11,且y<9}内的椭圆个数为 ( )

  A.43 B.72 C.86 D.90

  [考场错解] D 由题意得,m、n都有10种可能,但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90.

  [专家把脉] 没有注意,x、y的取值不同.

  [对症下药] B 由题意得m有10种可能,n只能从集合11,2,3,4,5,6,7,81中选取,且m≠n,故椭圆的个数:10×8-8=72.

  4.设直线l与椭圆 =1相交于A、B两点,l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB,求直线l的方程 ( )

  [考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b

  如图所示,l与椭圆,双曲线的交点为A(x1,y1)、B (x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有 =3

  由 所以x1+x2=-

  由 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0

  (2) 若k=±1,则l与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k≠±1

  所以x3+x4= 、由 x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 - bk=0或b =0

  ①当k=0时,由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=± 由 =3(x4-x1)即 故l的方程为y=±

  ②当b=0时,由(1)得x1、2=± ,由(2)得x3、4= 由 =3(x4-x3)即 综上所述:直线l的方程为:y=

  [专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在,致使造成思维片面,漏解.

  [对症下药] 解法一:首先讨论l不与x轴垂直时的,情况.

  设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2, y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有 .由 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=- 由 得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.

  若k=±1,则l与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k≠±1.所以x3+x4=

  由 x1+x2=x2+x4 或 b=0.

  ①当k=0时,由(1)得 由(2)得x3、4=± 由 (x4-x3).

  即 故l的方程为 y=±

  ②当b=0时,由(1)得x1、2=

  自(2)得x3、4= (x4-x3).即

  故l的方程为y= .再讨论l与x轴垂直时的情况.

  设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=

  y3、4= 即

  综上所述,直线l的方程是:y= x、y=± 和x=

  x3、4= ∵x2-x1=3(x4-x3) .故l的方程为y=±

  ②当y0=0,x0≠0,由(2)得x4=x3≠0,这时l平行y轴.设l的方程为x=c,分别代入椭圆、双曲线方程得:yl、2= y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3)

  故l的方程为:

  ③当x0=0,y0=0时,这时l通过坐标原点且不与x轴垂直.设l的方程为y=kx,分别代入椭圆、双曲线方程得:x1、2= 故l的方程为y= 综上所述,直线l的方程是:y= 、y= 和x=

  5.设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (1)确定A的取值范围,并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的A,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)

  [考场错解] (1)设A(x1,y1)B(x2,y2)则有: (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0

  依题意,x1≠x2 ∴kAB- ∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9又由N(1,3)在椭圆内,∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞,12)直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0

  [专家把脉] ①用“差比法”求斜率时kAB= 这地方很容易出错.②N(1,3)在椭圆内,λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆.

  [对症下药] (1)解法1:依题意,可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3,代入3x2+y2=λ,整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 设A(x1,y1)、B(x2、y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根,

  ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且x1+x2= ,由N(1,3)是线段AB的中点,得 ,∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1,代入②得,λ>12,即λ的取值范围是(12,+∞).于是,直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

  解法2:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0

  依题意,x1≠x2,∴kAB=- ∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,yl+y2=6,从而kAB=-1.又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×12+32=12, ∴λ的取值范围是(12,∞).直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

  (Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直线CD的方程为y-3 =x-1,即x-y+2=0,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4

  又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0),则x3, x4是方程③的两根,∴x3+x4=-1,且x0= (x3+x4)=- ,y0=x0+2= ,即M(- , ).于是由弦长公式可得CD= ④将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得AB= ⑥ ∵当λ>12时, > ,∴AB<CD

  假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.点M到直线AB的距离为d= ⑦

  于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+

  故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心, 为半径的圆上.

  (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形,A为直角 AN2 =CNDN,即 . ⑧

  由⑥式知,⑧式左边= ,由④和⑦知,⑧式右边=

  ∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆解法2:由(Ⅰ)解法1及λ>12,

  ∵CD垂直平分AB,∴直线CD方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③

  将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤

  解③和⑤式可得 xl,2=

  不妨设A(1+

  计算可得 ,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.

  (注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)

  专家会诊 1.重点掌握椭圆的定义和性质,加强直线与椭圆位置关系问题的研究.2.注重思维的全面性,例如求椭圆方程时只考虑到焦点在,轴上的情形;研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的训练,在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有:判别式法,自身范围法等.求椭圆的方程常用方法有:定义法,直接法,待定系数法,相关点法,参数法等.

  命题角度2对双曲线相关知识的考查

  1.已知双曲线x2- =1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且 ,则点M到x轴的距离为 ( )

  [考场错解] B

  [专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义.

  [对症下药] C 由题意得a=1,b= ,c= 可设M (x0,y0)MF1=ex0+a= x0+1,

  MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=

  即点M到x轴的距离为

  2.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为 (O为原点),则两条渐近线的夹角为 ( )

  A.30° B.45° C.60° D.90°

  [考场错解] B

  [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角.

  [对症下药] D 由题意得A( )s△OAF= c ,则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°.

  解不等式,得

  专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用,在第二定义中,要强调e>1,必须明确焦点与准线的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏. 3.掌握参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义,并注意灵活运用.

  命题角度3对抛物线相关知识的考查。

  1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( )

  A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

  [考场错解] D 由题意得AB=5 p=4,通径长为 2×4=8 5<8,故不存在这样的直线.

  [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义.

  [对症下药] B 解法一:由题意得P=2,通径长为4,而AB=x1+x2+p=7,由7>4,则这样的直线有且仅有两条,解法二:用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值,即直线有且仅有两条.

  2.设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.

  [考场错解] (Ⅱ),设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y= 与y=2x2联立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;设AB的中点N的坐标为(x0,y0)

  则x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b,于是b= 即得l在y轴上截距的取值范围为[ ].

  [专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m> ,无法进一步求出b的范围,只好胡乱地把m当作大于或等于0.

  [对症下药] (1)F∈l FA=FB A、B两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1、y2不同时为0, ∴上述条件等价于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;

  ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F。

  (Ⅱ)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=- x+m,所以x1、x2满足方程2x2+ x-m=0,得x1+x2=- ; A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 +8m>0,即m> 设AB的中点N的坐标为(x0,y0),则x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m

  由N∈l,得 +m=- +b,于是b= +m> 即得l在y轴上截距的取值范围为( ,+∞).

  3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A (x1,y1),B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求 的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.

  [考场错解] (1)当y= 时,x= 又抛物线的准线方程为x=-P,由抛物线定义得,所求距离为

  (Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0

  相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).

  同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故

  设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)

  故kAB= 将y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常数.

  [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程,②计算不够准确.

  [对症下药] (1)当y= 时,x= ,又抛物线y2= 2px的准线方程为x= ,

  由抛物线定义得,所求距离为 -(- )=

  (Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB

  由y12=2px1,y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0),

  故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).

  由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB,即 =- ,所以yl+y2=-2y0,

  故 =-2. 设直线AB的斜率为kAB

  由y22=2px2,y21=2pxl

  相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),

  所以

  将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得

  所以kAB是非零常数.

  4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).

  (1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;

  (Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

  [考场错解](Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则

  ∵OA x1x2+yly2=0(2)

  又点A、B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1

  ∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2,故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+ .

  [专家把脉]没有考虑到x1x2=0时,△AOB不存在

  [对症下药] (Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则

  又点A、B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1

  ∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+

  (Ⅱ)S△AOB=

  由(1)得S△AOB=

  当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时,等号成立。所以△AOB的面积存在最小值,最小值为1。

  专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程,注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长,弦的中点,弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。

  ∴(x1,yl-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2,由于x1, x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以 消去x2得

  [专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0.

  [对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组

  有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ,即离心率e的取值范围为( )∪( ).

  (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以 x2=- ,消x2,得- ,由a>0,所以a=

  2.给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1,求 与 夹角的大小; (Ⅱ)设 ,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.

  [考场错解] (1)设 与 夹角为α;由题意l的方程为了y=x-1,将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1,y1)B(x2,y2)则有x1+x2=6,x1x2=1.易得  =x1x2+y1y2=-3, cosα= ∴α=-arccos

  (Ⅱ)由题意知 ,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为A'、B'.

  ∴FB=BB',AF=AA' ∴BB’=λAA',λ∈[4, 9]

  设l的方程为y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0

  ∴x= ∴AA'= +l =

  BB'=

  [专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰.

  [对症下药] (1)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为了y=x-1.

  将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有xl+x2=6,x1x2=1.

  =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.

  所以 与 夹角的大小为π-arc cos (Ⅱ)由题设 得 (x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),

  即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1 ③

  联立①、③解得x2=λ,依题意有λ>0,∴B(λ,2 )或B (λ,-2 ),又9(1,0),得直线

  (2)当PF1=F1F2时,同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.

  (3)当PF2=F1F2时,同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0

  综上所述,当λ= 或-2或0时△PF1F2,F2为等腰三角形.

  [专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2 (2)没有注意到椭圆离心率的范围.

  [对症下药] (1)证法一:因为A、B分别是直线l:y= ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(- )(0,a). 由

  所以点M的坐标是(-c, ),由 得(-c+ )=λ( ,a). 即

  证法二:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(- ,0),(0,a),设M的坐标是(x0,y0),由 得( ),

  所以 因为点M在椭圆上,所以 =1,

  即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0,解得e2=1-λ 即λ=1-e2.

  (Ⅱ)解法一:因为PF1⊥l,所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 设点F1到l的距离为d,由 PF1=d, = ,得

  =e.所以e2= ,于是λ=1-e2= .即当λ= 时,△PF1F2为等腰三角形.

  解法二:因为PF1⊥l,所以,∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2,设点P的坐标是(x0,y0),

  则 解得 由PF1=FlF2得 =4c2,

  两边同时除以4a2,化简得 =e2.从而e2= 于是λ=l-e2= .即当λ= 时,△PF1F2为等腰三角形.

  4.抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).

  (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 =λ ,证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

  [考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为( ,0)准线方程为x=-

  (Ⅲ)∵P(-1,1)在y=ax2上,故a=-1∴y=-x2

  由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2,y2=(k2+1)2,因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1)

  于是 = (k1+2,k21+2k1), =(2k1,4k1), 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有<0易得k1的取值范围是 k1<-2或

  故当k1<-2时,y<-1;当-

  [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念.

  [对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0, ),准线方程为y=- .

  (Ⅱ)证明:设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0).

  点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组

  的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0,于是 x1+x0= ,故x1= -x0③

  又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组

  的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ,故x2= -x0, 由已知得,k2=-λkl,则x2= ⑥设点M的坐标为(xM,yM),由 =λ ,则xM= .将③式和⑥式代入上式得 x0,即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上.

  (Ⅲ)因为点P(1,-1)在抛物线y=ax2上,所以a=-1,抛物线方程为y=-x2.由③式知x1=-k1-1,代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.将λ=1代入⑥式得x2=k1-1,代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1,-1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k12+2k1-1).

  于是 =(k1+2,k12+2k1), =(2K1,4K1), = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有<0.求得k1的取值范围是k1<-2或-

  专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组,判断方程组解的组数,对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断,而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定,不可混淆.2.涉及弦长的问题中,应熟练地利用韦达定理,设而不求计算弦长,不要蛮算,以免出现差错.3.涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化。

  命题角度5对轨迹问题的考查

  1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点,离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( )

  A.2 B. C.18+12 D.21

  [考场错解] C

  [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻.

  [对症下药] B 设双曲线方程为 =1,由题意得 则a= b= ,则双曲线方程为 =1,由 得A(3,2 ),故交点到原点的距离为

  2.(典型例题)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足 =x2,则点P的轨迹是 (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得  =d2即 =d2

  ∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0

  (Ⅲ)略

  [专家把脉] 没有很好地理解题意,第二问出现两解,致使第三问过于复杂难以完成.

  [对症下药] 解:(I)W1={(x,y)kx0},

  (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0,由题意得  =d2,即 =d2,

  由P(x,y)∈W,知k2x2-y2>0,所以 =d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0,

  所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0;

  (Ⅲ)当直线J与,轴垂直时,可设直线J的方程为,x=a (a≠0).由于直线l,曲线C关于x轴对称,且l1与l2关于x轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0),所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐标都为( a,0),即它们的重心重合,

  当直线l1与x轴不垂直时,设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0).

  由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0

  在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)

  (Ⅲ)C上存在M(x0,y0)使s=b2的充要条件是:

  又 =(-C-x0-y0), =(c-x0,y0)由  =x02-c2+y20=a2-c2=b2

  即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2

  [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面.

  [对症下药] (1)证法一:设点P的坐标为(x,y).由P(x,y)在椭圆上,得

  2

  由x≤a,知a+ ≥-c+a>0,所以 =a+ x.新课 标第 一网

  证法二:设点P的坐标为(x,y).记

  则r1= ,r2= .

  由r1+r2=2a,r21-r22=4cx,得 =r1=a+ .

  证法三:设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程a+ =0.

  由椭圆第二定义得 即

  由x≥-a,知a+ ≥-c+a>0,所以 =a+

  (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为(x,y).当 =0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当 且 时,由 =0,得 又 ,所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中, =a,所以有x2+y2=a2综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2

  解法二:设点T的坐标为(x,y).当 =0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.

  当 且 时,由 又 = ,所以T为线段F2Q的中点.

  设点Q的坐标为(x',y'),则 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②

  将①代入②,可得x2+y2=a2.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2

  (Ⅲ)解法一:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是

  由③得,y0≤a,由④得,y0≤ ,所以,当a≥ 时,存在点M,使S=b2;

  当a< 时,不存在满足条件的点M.当a≥ 时, =(-c-c0,-y0), =(c-c0,-y0),

  由  =x02-c2+y20=a2-c2=b2,

  解法二:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是

  由④得y0 ,上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.

  于是,当a≥ 时,存在点M,使s=b2;当a< 时,不存在满足条件的点M.

  当a≥ 时,记k1=kF1M=

  由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2= =2.

  专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来,实质上是一个翻译过程,故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键,往往和研究曲线几何性质,讨论直线与曲线位置关系等联系在一起.(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除.

  故舍去

  综上所述:当x= 时d取得最小值

  [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性,致使思路不清晰,计算繁琐.

  [对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)

  设点P(x,y),则 =(x+6,y), =(x-4,y),由已知可得

  则 2x2+9x-18=0,x= 或x=-6.由于y>0,只能x= ,于是y= 点P的坐标是( )

  (2)直线AP的方程是x- +6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是 .于是 = m-6,又-6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有,d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15,由于-6≤m≤6,∴当x= 时,d取得最小值

  2.如图,直线y= x严与抛物线y= x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值.

  [考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5,-5) 直线OQ的方程为x+y=0

  设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离

  d=

  ∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15

  [专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法.

  [对症下药] (1)解方程组 ,得 即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1),由 ,得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).

  (2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x, -4),∵点P到直线OQ的距离d= ∵P为抛物线上位于线段AB下方点,且P不在直线OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4

  3.设椭圆方程为x2+ =1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点,点P满足 ,点N的坐标为( , ),当l绕点M旋转时,求: (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值与最大值.

  [考场错解] (1)①若l的斜率存在,设为k,则l:y =kx+1代入4x2+y2=4中得,(k2+4)x2+2kx-3=0

  ∴x1+x2=

  i)A=0时,x=0 y=1,∴P(0,1)

  ii)k≠0时,k= ∴P点的轨迹为:x2+y2-y=0(y≠O)

  ②若l不存在斜率,∴A、B为上、下顶点.∴P(0,0)

  (2)解:∵N( ),i),∵k不存在时P(0,0), ii) k=0时P(0,1). iii)k≠0时x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.

  [专家把脉] 思路不清晰.

  [对症下药] (1)解法一:直线l过点M(0,1),设其斜率为A,则J的方程为y=kx+1.

  记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 的解.

  将①代入②并化简得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是

  设点P的坐标为(x,y),则 消去参数k得 4x2+y2-y=0. ③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0

  解法二:设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,所以

  ④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0

  当x1≠x2时,有 ⑥并且 ⑦

  将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧

  当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点p的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点P的轨迹方程为

  (Ⅱ)解法:由点P的轨迹方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以

  故当x= 时, 取得最小值,最小值为 ,当x= 时, 取得最大值,最大值为

  由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③

  则

  的取值范围是[2,+∞].

  [专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件.

  [对症下药] 解法:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M (x0,y0),依题意x1≠0,yl>0,y2>0.由y= x2,①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意, ∴x1≠0.

  ∴直线l的斜率k1= ,直线l的方程为y- x21= (x-x1).②

  方法一:联立①②消去y,得x2+ -x21-2=0. ∵M为PQ的中点,

  消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0),

  方法二:由y1= x21,y2= x22,x0= ,得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),则x0= k1=- ∴x1=- ,将上式代入②并整理,得y0=x20+ +1(x0≠0), ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0).

  (Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为p'、 Q',则

  由 消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③则

  方法三:由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即 则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=

  可取一切不等于l的正数, 的取值范围是(2,+∞).

  专家会诊①直线过定点的问题,常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数的思想处理,即把所求定值通过一些基本变量表示,最终化成常数.③最值问题往往用几何方法,函数或不等式等方法处理.

  四、典型习题导练

  1、已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ,短轴长为 (I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为 求直线AB的方程。

  【解析】(Ⅰ)由题意, -----1分解得 -----2分

  即:椭圆方程为 -----4分

  (Ⅱ)当直线 与 轴垂直时, , 此时 不符合题意故舍掉;

  当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为: ,代入消去 得:

  ------5分 设 ,则 ,

  所以 -----7分原点到直线的 距离 ,

  所以三角形的面积 .由 ,

  所以直线 或 .--------12分

  2、设椭圆 的左焦点为 ,左、右顶点分别为 ,上顶点为 ,过 三点做 .(Ⅰ)若 是 的直径,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若 的圆心在直线 上,求椭圆的方程。

  【解析】(Ⅰ)由椭圆的方程知 ∴ 设 …1分∵ 是 的直径,

  ∴ ,∵ ∴ ,…2分∴ ,

  解得: …5分∴椭圆的离心率 …6分

  (Ⅱ)解:∵ 过点 三点,∴圆心 即在 的垂直平分线,也在 的垂直 端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 , 两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在线段 上是否存在点 ,使得 ?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.

  【解析】(Ⅰ)因为椭圆的短轴长: ,又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,所以: ;故椭圆的方程为: ……4分

  (Ⅱ)(1)若 与 轴重合时,显然 与原点重合, ;

  (2)若直线 的斜率 ,则可设 ,设 则:

  所以化简得: ;

  的中点横坐标为: ,代入 可得: 的中点为

  , 由于 得到 所以:

  直线 …10分

  .12分

  直线 恒过定点 .……13分

  5、设椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数,且内切于圆 。(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)若直线 交椭圆于A、B两点,椭圆上一点 ,求 面积的最大值。

  【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为 ,则椭圆 的离心率为 ,圆 的直径为 ,则 ,由 所求椭圆 的方程为 …12分

  6、已知椭圆 的右焦点恰好是抛物线 的焦点F,点A是椭圆E的右顶点. 过点A的直线 交抛物线C于M,N两点,满足 ,其中 是坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作 轴平行线BQ,过点N作 轴平行线NQ,直线BQ与NQ相交于点Q. 若 是以MN为一条腰的等腰三角形,求直线MN的方程.

  【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识,考查转化求解能力.

  【解析】(Ⅰ) ,∴ ,设直线 代入 中,整理得 .设 ,则 ,又∵ ,

  ∴ ,由 得 ,解得 或 (舍),

  得 ,所以椭圆 的方程为 .

  (Ⅱ)椭圆E的左顶点 ,所以点 .易证M,O,Q三点共线.当QM为等腰 的底边时,由于 ,∴O是线段MQ的中点,∴ 所以 ,即直线 的方程为 ;

  当QN为等腰 底边时, ,又∵ ,解得 或 ∴ ,所以直线MN的方程为 ,即 .综上所述,当 为等腰三角形时,直线MN的方程为 或 .

  7、在平面直角坐标系 中,动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 ,设动点 的轨迹是曲线 .(Ⅰ)求曲线 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线 : 与曲线 相交于 、 两点,已知圆 经过原点 和 两点,求圆 的方程,并判断点 关于直线 的对称点 是否在圆 上.

  【解析】解:(1)由已知,即动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离,…2分

  ∴动点 的轨迹曲线 是顶点在原点,焦点为 的抛物线和点 …………4分

  ∴曲线 的轨迹方程为 和 .…6分由 解得 或

  …8分即 , 设过原点与点 、 的圆 的方程为 ,

  则 ,解得 ∴圆 的方程为 即

  …10分由上可知,过点 且与直线 垂直的直线 方程为:

  解方程组 ,得 即线段 中点坐标为 ……12分

  从而易得点 关于直线 的对称点 的坐标为 把代入 代入:

  ∴点 不在圆 上.……14分

  8、过抛物线 上不同两点 、 分别作抛物线的切线相交于点 ), .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求证:直线 恒过定点;(Ⅲ)设(Ⅱ)中直线 恒过定点为 ,若 恒成立,求 的值.

  【解析】(Ⅰ)设 , , .由 ,得: , ,

  , , .直线 的方程是: .即 .

  同理,直线 的方程是: .②由①②得: , .

  (Ⅱ)恒过点 … 8分

  (Ⅲ)由(Ⅰ)得: , , ,

  . .故 .

  9、已知点 ,直线 与直线 斜率之积为 ,记点 的轨迹为曲线 .(Ⅰ)求曲线 的方程;(Ⅱ)设 是曲线 上任意两点,且 ,是否存在以原点为圆心且与 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

  【解析】(Ⅰ)设 则由直线 与直线 斜率之积为 得 , .

  由 得 ,整理得 .代入(*)式解得

  此时 中 .此时原点O到直线 的距离

  .故原点O到直线 的距离恒为 .存在以原点为圆心且与 总相切的圆,方程为 .--12分

  10、已知对称中心为坐标原点的椭圆 与抛物线 有一个相同的焦点 ,直线 与抛物线 只有一个公共点.(1)求直线 的方程;(2)若椭圆 经过直线 上的点 ,当椭圆 的的离心率取得最大值时,求椭圆 的方程及点 的坐标.

  (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)

  .… 3分∴直线 的方程为 .…… 4分

  (2)法1:∵抛物线 的焦点为 , 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为

  设点 关于直线 的对称点为 ,

  则 …7分 解得 ∴点 … 8分 ∴直线 与直线

  的交点为 9分由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆 的长轴长

  其中当点 与点 重合时,上面不等式取等号∴ . ∴ .

  故当 时, , 12分此时椭圆 的方程为 ,点 的坐标为 … 14分

  法2:∵抛物线 的焦点为 , 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为 .5分

  设椭圆 的方程为 ,… 6分由 消去 ,

  得 .(*) 7分

  若直线 交直线 于点 ,过 作直线 的垂线交 轴于点 ,求 的坐标; (Ⅲ)求点 在直线 上射影的轨迹方程.

  【解析】(Ⅰ)由题意知 ,故椭圆方程为 ......3分

  (Ⅱ)设 , 则由图知 ,得 ,故 .

  设 ,由 得: , .

  又 在椭圆上,故 ,化简得 ,即 ....8分

  (Ⅲ)点 在直线 上射影即PQ与MB的交点H,由 得 为直角三角形,设E为 中点,则 = = , ,因此H点的轨迹方程为 .

  由点 知直线 的方程为 .分别在其中令

  及 得 .5分将 的坐标代入 中得

  ,即 ,7分所以 8分

  (Ⅱ)设椭圆 的方程为 ,将 , 代入,

  得 ,9分解得 , 由 得 . 10分

  椭圆 的焦距

  (或 ) 12分

  当且仅当 时,上式取等号, 故 , 13分

  此时椭圆 的方程为 14分

  13、已知点P是圆F1: 上任意一点,点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得HK=KQ,连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

  【解析】(Ⅰ)由题意得, (1分)

  圆 的半径为4,且 (2分)

  从而 (3分)

  ∴ 点M的轨迹是以 为焦点的椭圆,其中长轴 ,焦距 ,则短半轴 (4分)椭圆方程为: (5分)

  (Ⅱ)设 ,则 .∵ ,∴ .∴ (6分)

  ∴ 点在以 为圆心,2为半径的的圆上.即 点在以 为直径的圆 上.(7分)

  又 ,∴直线 的方程为 .(8分)令 ,得 (9分)

  又 , 为 的中点,∴ (10分)∴ , (11分)

  ∴

  (Ⅱ)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理,得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0,

  则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0,且x1+x2=,x1x2=.

  ∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直线OA,AB,OB的斜率依次成等比数列,∴==k2,即+m2=0,又m≠0,∴k2=1,即k=±1.

  设点O到直线l的距离为d,则d=,∴S△OAB=ABd=x1-x2

  =x1-x2 m=.由直线OA,OB的斜率存在,且△>0,得0

  ∴0<<=a2.故△OAB面积的取值范围为(0,a2).…(10分)

  (Ⅲ)对椭圆Γ而言,有如下类似的命题:“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A,B两点,若直线OA,AB,OB的斜率依次成等比数列,则△OAB面积的取值范围为(0,ab).”……(13分)

  15、已知 分别为椭圆 的左右焦点, 分别为其左右顶 点,过 的直线 与椭圆相交于 两点. 当直线 与 轴垂直时,四边形 的面积等于2,且满足 .⑴求此椭圆的方程;⑵当直线 绕着焦点 旋转但不与 轴重合时,求 的取值范围.

  【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.

  【解析】⑴当直线 与x轴垂直时,由 ,得 .

  又 ,所以 ,即 ,又 ,

  解得 . 因此该椭圆的方程为 . (4分)

  ⑵设 ,而 ,所以 , ,

  , .从而有

  . (6分)

  因为直线 过椭圆的焦点 ,所以可以设直线 的方程为 ,则由 消去 并整理,得 ,所以 , . (8分)

  进而 , ,可得 . (10分)

  令 ,则 . 从而有 ,而 ,

  所以可以求得 的取值范围是 .(12分)

  16、已知 、 分别是椭圆C : 的左、右焦点,

  M、N分别是双曲线C : 的左、右焦点,

  过N作双曲线渐进线的垂线,垂足为P,

  若PF ⊥x轴(1)椭圆C 与双曲线C 的方程;

  (2)分别过F 和N作两条平行线 、 , 交椭圆于A、B, 交双曲线右支于D、E,问:是否存在 ,使得 为定值,若不存在,说明理由。

  解:(1)可求出a2=2 ∴两种曲线的方程分别为

  (2)若L1,L2不垂直于x轴,设其斜率为k,则

  , 定值为 当L1,L2与x轴垂直时

  , 定值为

  17、如图,过点 作抛物线 的切线 ,切点A在第二象限.(1)求切点A的纵坐标;(2)若离心率为 的椭圆 恰好经过切点A,设切线 交椭圆的另一点为B,记切线 、OA、OB的斜率分别为 ,求椭 (2)由(1)得 ,切线斜率 ,设 ,切线方程为 ,由 ,

  得 .…7分所以椭圆方程为 ,且过 , .…9分

  由 , ,…11分

  …15分

  18、已知曲线 都过点A(0,-1),且曲线 所在的圆锥曲线的离心率为 .(Ⅰ)求曲线 和曲线 的方程;

  (Ⅱ)设点B,C分别在曲线 , 上, 分别为直线AB,AC的斜率,

  当 时,问直线BC是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

  ,即 .…12分故 过定点 .…13分

  19、在ΔABC中,顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程;(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N,如果存在过点P(0,- )的直线l,使得点M、N关于l对称,求实数m的取值范围.

  【解析】(I)由题知 得b+c=4,即AC+AB=4(定值).由椭圆定义知,顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去左右顶点),且其长半轴长为2,半焦距为1,于是短半轴长为 .∴ 顶点A的轨迹方程为 .…4分

  (II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.

  ∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0,整理得:4k2>m2-3.①令M(x1,y1),N(x2,y2),则

  设MN的中点P(x0,y0),则

  ,……7分

  i)当k=0时,由题知, .………8分

  ii)当k≠0时,直线l方程为 ,由P(x0,y0)在直线l上,得 ,得2m=3+4k2.②

  把②式代入①中可得2m-3>m2-3,解得00,解得 .∴ .

  验证:当(-2,0)在y=kx+m上时,得m=2k代入②得4k2-4k+3=0,k无解.即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点.∴ m的取值范围为( ).…………11分

  综上,当k=0时,m的取值范围为 ;当k≠0时,m的取值范围为( ).…12分

  20、已知圆 的圆心在坐标原点 ,且恰好与直线 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程;(Ⅱ)设点 为圆上一动点, 轴于 ,若动点 满足 ,(其中 为非零常数),试求动点 的轨迹方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当 时, 得到曲线 ,与 垂直的直线 与曲线 交于 、 两点,求 面积的最大值.

  【解析】 (Ⅰ)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ,则 2分圆 的方程为

  (Ⅱ)设动点 , , 轴于 ,

  由题意, ,所以 5分

  即: ,将 代入 ,得 7分 文

  【总结】2013年为小编在此为您收集了此文章“高三数学学习方法:冲刺易高考易错点平面解析几何”,今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助,祝您在学习愉快!

  更多频道:

  2016年高考数学备考 让复习效率来得更高一些

  “不但要会埋头拉车,还要会抬头看路”是我对的一贯见解。是一场成王败寇的残酷竞争,它是公平的也是不公平的,说公平是因为所有人都将面对同样的时间、、;说高考不公平是因为对每个人来说信息并不对称——对高考分析透彻的人自然拥有更高的必然会取得更出色的成绩。

  这里我强调的并不是的基础知识掌握程度而是复习的效率问题,谁的基础知识更牢固谁将取得更好的高考成绩这是一个铁的事实,但它是建立在“所有人的复习效率都是相同的”这个假设之下的,所以大家经常可以看到有些高考考生学的呕心沥血却永远只是中游水平,而另一些高考生拥有大量的休闲活动却仍然能名列前茅。

  造成这种现象的原因很多人会归结为“”和“运气”,我也不否认这两方面的因素,但最主要的原因还是效率问题:两个高考生同样学了一个小时的数学,一个人领悟了一个高考非常容易考到的重点内容,而另一个人啃下了一个非常难于理解的但是高考从来没有考过的难点内容,那么这样日积月累下来第一个人对高考真题考点的掌握就会远高于后者。这就是我说的“不但要会埋头拉车,还要会抬头看路”的意思,“拉车”就是指认真的复习,而“看路”则是指认清高考考察的重点,把握住高考复习的方向。“拉车”基本上是每个都能够作到的,但是“看路”就不尽然了,起早贪黑却劳而无功的高考生都是没有解决好复习方向的问题,没有看好“路”。

  现在这个阶段是高三文科刚开始复习而理科将近结课的阶段,属于高考复习的初期,这一阶段给大家的建议是:

  第一:先看一下近三、五年的高考真题,并不要去做这些高考真题,而是要从中分析出那些是真正的高考考点,从而为整个一年的高考复习定下一个正确的基调。

  无法分清考点的轻重是最常见的问题,比如高考中《函数》与《导数》两部分的关系就是一个非常容易使人混乱的地方。《函数》是的重点章节,学校会反复强调它的重要性,说它在高考中占多少多少比例等等,而《导数》则只是高三中的一个辅助章节尤其是文科,它的章节比重很小,学校强调的也不够。这就给大家一个错觉就是函数比导数重要,但是事实上在真正的高考中它们两者的位置恰恰相反,函数的考查只有3至4道小题而且都位于试卷前几道题十分简单,其它问题虽然大量使用函数思想但是对同学们解题没有实质上的影响。反观导数它在高考中直接占有一道大题特别是07年的文科,它取代了《数列》的地位成为了倒数第二位的14分难题,同时只要遇到“函数单调性”“极值”“最值”“值域相关问题”“切线问题”等都要使用导数知识进行解决。当然函数的单调、极值等可以用《函数》知识处理但比起导数来说这是十分烦琐的。

  所以说导数的地位要远比函数来的重要,这一问题往往是影响大家高考复习效率的一个关键问题,发现它并不需要“智商”和“运气”,只要看一遍近几年高考真题即可,这就是我第一条建议的重点所在。

  第二:分析自己的实力特征,果断对知识点进行取舍。高考是选拔性的,并不要求我们在某个单科出,只要高考总成绩能够胜出就可以,所以我们一定要根据自己的真实水平对整个高考复习作一个规划。07年天津市理科的数学成绩只有138分,并不是传奇的150,他其他的高考科目也都是很高但远没达到最高,这就说明了我们要合理分配自己的精力使自己的得以最大的发挥。这一点就是要告戒大家千万不能偏科,我们身边经常有一些高考考生他们某几门学科成绩十分优异(高于),但总成绩只能达到中游或中上的水平,他们最大的问题就是时间分配,如果他们节省出一部分花在强势学科上的时间转移到弱势学科上,高中物理,他们必将取得更好的成绩。

  第三:正确对待模拟考试与模拟题。如果已经看过高考真题的同学很容易发现高考真题与模拟题有着天壤之别,大多数模拟题尤其是出自低级别地方的,根本无法达到高考真题的水平,做它们是无法真实反映大家在高考中的表现的。所以大家在现阶段应该首先看“题”是否值得作再看作的是否好,这才是正确的。

  2016年高考数学复习:数列问题的题型与方法

  2013年高考将于6月7日、8日举行,高考频道编辑为广大考生整理了高考数学考试重点及常用公式,帮助大家有效记忆。

  数列问题的题型与方法

  数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

  近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

  知识整合

  1。在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

  2。在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

  3。培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

【  高考数学备考:数学八大诀窍】相关文章:

成人高考(高起点)数学备考要诀09-03

高考数学第一轮复习诀窍:关于健康10-16

高考数学第一轮复习诀窍:如何复习?10-16

高考数学第一轮复习诀窍:关于作业10-16

高考数学第一轮复习诀窍:关于沟通10-17

分享2016年高考数学复习备考经验09-29

2014年高考数学题备考建议11-09

2016年高考改革下数学备考攻略10-03

成人高考高起点数学备考要诀08-21

5月高考备考的八大误区与对策11-15