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考研数学一元函数微分学常考察的题型有哪些

2017-12-22 考研资讯

  一元函数微分学是考研数学重难点,不少考生卡在此处,我们在复习的时候,要抓住重点。小编为大家精心准备了考研数学一元函数微分学常考察的重点,欢迎大家前来阅读。

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  考研数学一元函数微分学常考察的题型

  ▶一元函数微分学有四大部分

  1、概念部分,重点有导数和微分的定义,特别要会利用导数定义讲座分段函数在分界点的可导性,高阶导数,可导与连续的关系;

  2、运算部分,重点是基本初等函的导数、微分公式,四则运算的导数、微分公式以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式等;

  3、理论部分,重点是罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理;

  4、应用部分,重点是利用导数研究函数的性态(包括函数的单调性与极值,函数图形的凹凸性与拐点,渐近线),最值应用题,利用洛必达法则求极限,以及导数在经济领域的应用,如“弹性”、“边际”等等。

  ▶常见题型

  1、求给定函数的导数或微分(包括高阶段导数),包括隐函数和由参数方程确定的函数求导。

  2、利用罗尔定理,拉格朗定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理证明有关命题和不等式,如“证明在开区间至少存在一点满足……”,或讨论方程在给定区间内的根的个数等。

  此类题的证明,经常要构造辅助函数,而辅助函数的构造技巧性较强,要求读者既能从题目所给条件进行分析推导逐步引出所需的辅助函数,也能从所需证明的结论(或其变形)出发“递推”出所要构造的辅函数,此外,在证明中还经常用到函数的单调性判断和连续数的介值定理等。

  3、利用洛必达法则求七种未定型的极限。

  4、几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题,解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所论区间。

  5、利用导数研究函数性态和描绘函数图像,等等。

  考研数学真题使用的问题

  首先,大家必须要明白,我们做真题的目的在于什么。简单的说,真题可以为我们的复习指明一条路,真题可以明确告诉我们考试究竟要考什么,考试的知识点是什么,考试的难度达到什么程度。然而,对很多同学来说,这一点是很难从真题中得到的,原因就在于学生的数学程度和数学素养有限,对他们而言,很难去读懂每一道真题后面,所蕴含的的真意是什么,所以说这一点往往需要老师帮助大家。

  在说完了我们做真题的目的之外,下面我就给大家介绍一下,我们究竟该如何去做真题。

  我们究竟该做多少年的真题?

  在这里,建议大家至少要做近20年的真题,这是因为考研数学和考研英语、考研政治不一样,英语和政治的时代感比较强,时效性也比较强,比如说,大家在做10年前的英语和政治真题和现在真题是完全不一样的感觉。然而,数学恰恰与此相反,经过近28年的萃取,考研数学早已发展成熟,不会在知识点和深度上面有太多的变化。这个时候,有一些学生会问,考过的真题还会再考吗?给大家举一个例子,在2012年考过一道和1994年完全一样的题目,可以告诉大家,纵然不会考原题,至少也会在做题的思路和做题的思想上是完全一样的,所以说,建议大家至少要做近20年的考研真题。

  我们需要在什么时候做真题?

  建议大家在刚开始复习的时候,不要去做真题,因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后,也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。

  应该怎么样去做真题?

  我给大家的建议是,在提高阶段,我们首先将真题按照题型进行分类,我们从题型的类别去做真题。这样做的目的有两个,第一,我们可以知道我们目前的程度和考试差距究竟有多大;第二,在我们分开类别去做真题的时候,我们也可以知道,自己究竟在那一块的知识比较薄弱,方便我们进行有针对性的查缺补漏做专题复习。其次,在我们的第四个阶段,也就是冲刺模考阶段,也是要以真题为根本出发点,需要大家继续做真题。但是这个时候,我们不用再将真题进行分类,而是直接进行整套真题的进行做。这个时候,可能会有同学这样说,我在提高阶段已经做过真题,为什么现在还有做真题?大家必须明白,你做分类的真题和整套真题是两种概念,我们在做分类的真题的时候,我们不需要太多的思维跨度,然而,当我们做整套真题的时候,我们是需要思维跨度,这一点,在考试过程中,对大家的要求也是比较大的。所以,在冲刺模考阶段,我们还是需要做真题。当然,也需要有一定的模拟题进行穿插起来做。毕竟,大家在提高阶段已经将真题做过一遍。这里,给大家的建议是做两套真题,做一套模拟题。

  考研高等数学各大题型归纳分析

  ▶求极限

  无论数学一、数学二还是数学三,求极限是高等数学的基本要求,所以也是每年必考的内容。

  区别在于有时以4分小题形式出现,题目简单;有时以大题出现,需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法,有时需要选择多种方法综合完成题目。另外,分段函数在个别点处的导数,函数图形的渐近线,以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的,须引起注意!

  ▶利用中值定理证明等式或不等式

  利用中值定理证明等式或不等式,利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考,但也基本上十年有九年都会涉及。

  等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理),1个定积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理,也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用时的一个难点,但考查的概率不大。

  ▶求导

  一元函数求导数,多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力,当然也包括对函数关系的处理能力。

  一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导,甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查,给出的函数可能是较为复杂的显函数,也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。另外,二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密,是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。

  ▶级数

  级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别,条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点,但常常以小题形式出现。

  函数项级数(幂级数,对数一的考生来说还有傅里叶级数,但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。

  ▶积分的计算

  积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算,以及二重积分的计算,对数一考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。

  这是以考查运算能力与处理问题的技巧能力为主,以对公式的熟悉及空间想象能力的考查为辅的。需要注意在复习中对一些问题的灵活处理,例如定积分几何意义的使用,重心、形心公式的使用,对称性的使用等。

  ▶微分方程解常微分方程

  微分方程解常微分方程方法固定,无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程,只要记住常用形式,注意运算准确性,在考场上正确运算都没有问题。

  但这里需要注意:研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式,即平常给出方程求通解或特解,现在给出通解或特解求方程。这需要大家对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。


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