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类比的定义是什么概念

2018-01-09 乐平 中考备考

  类比所根据的相似属性之间越是相关联的,类比的应用也就越为有效。下面是百分网小编给大家整理的类比的简介,希望能帮到大家!

  类比的定义

  在心理学上,类比指的是一种维持了被表征物的主要知觉特征的知识表征。

  所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证。

  在台湾省,繁体中文的“类比”有“模拟量”(Analog)之意。比如游戏手柄的“类比摇杆”、“类比电路”(模拟量电路)、类比信号(模拟信号)等等。

  类比的合理性原则

  为了使类比在科学发现中发挥有效的作用,人们进行类比推理时应当注意以下的原则:

  第一,类比所根据的相似属性越多,类比的应用也就越为有效。这是因为两个对象的相同属性越多,意味着它们在自然领域(属种系统)中的地位也是较为接近的。这样去推测其他的属性相似也就有较大的可能是合乎实际的。例如十七世纪惠更斯的波动说,是通过光与声音进行类比提出来的。当时发现声音有直线传播、反射、折射等现象,同时又有波动性,光也有直线传播、反射、折射等现象。于是推出,光也有波动性。由于当时惠更斯没有注意到光的干涉现象,加之其他原因,使得光的波动说一度受到了冷落。到了十九世纪,英国的托马斯·扬,进一步将光和声音进行类比,在类比中引进了波长概念,解释了光和声音的干涉现象,提出了横波概念,于是恢复了被人冷落—百多年的光的波动说,使光的波动说进一步被确认。

  第二,类比所根据的相似属性之间越是相关联的,类比的应用也就越为有效。因为类比所根据的许多相似属性,如果是偶然的并存,那么推论所依据的就不是规律的东西,而是表面的东西,结论就不大可靠了。如果类比所依据的是现象间规律性的东西,不是偶然的表面的东西,那么结论的可靠性程度就较大。

  第三,类比所根据的相似数学模型越精确,类比的应用也就越有成效。因为只有在精确的数学模型之间作出类比,才能把其中相关的元素分别地准确地对应起来,才能较为有效地作出新的发现。

  数学类比

  概念综述

  数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.

  运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下:

  可见,运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型.

  降维类比

  将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.

  【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球,S是所作六个球的交集.证明S中没有一对点的距离大于1。

  【分析】考虑平面上的类比命题:“边长为1的正三角形,以各边为直径作圆,S‘是所作三个圆的交集”,通过探索S’的类似性质,以寻求本题的论证思路.如图,易知S‘包含于以正三角形重心为圆心,以为半径的圆内.因此S’内任意两点的距离不大于1以此方法即可获得解本题的思路。

  证明:如图,正四面体 ABCD中,M、N分别为BC、AD的中点,G

  为△BCD的中心,MN∩AG=O.显然O是正四面体ABCD的中心.易知OG=·AG=,并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于,其球O必包含S.现证明如下。

  根据对称性,不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点,且P不在球O内,现证P亦不在S内。

  若球O交OC于T点。△TON中,ON=,OT=,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。由余弦定理:

  TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,∴TN=。

  又在 Rt△AGD中,N是AD的中点,∴GN=。由GN= NT=, OG=OT, ON=ON,得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON,且均为钝角.

  于是显然在△GOC内,不属于球O的任何点P,均有∠PON>;∠TON,即有PN>TN=,P点在 N为球心,AD为直径的球外,P点不属于区域S.

  由此可见,球O包含六个球的交集S,即S中不存在两点,使其距离大于.

  结构类比

  某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.

  【例3】任给7个实数xk(k=1,2,…,7).证明其中有两个数xi,xj,满足不等式0≤≤·

  【分析】若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立.若7个实数互不相等,则难以下手.但仔细观察可发现:与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换:xk=tanαk(k =l,2,…,7),证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tan(αi-αj)≤·

  证明:令xk=tanαk(k =l,2,…,7),αk∈(-,),则原命题转化为:证明存在两个实数αi,αj∈(-,),满足0≤tan(αi-αj)≤·

  由抽屉原则知,αk中必有 4个在[0,)中或在(-,0)中,不妨设有4个在[0,)中.注意到tan0=0,tan=,而在[0,)内,tanx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<;αi-αj <即可。为此将[0,)分成三个小区间:[0,]、(,]、(,)。又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>;αj,则0≤αi-αj ≤,故0≤tan(αi-αj)≤·这样,与相应的xi=tanαi、xj=tanαj,便有0≤≤·

  简化类比

  简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等.

  【例4】已知xi≥0(i=1,2,…,n),且xl+x2+…+xn=1。

  求证:1≤++…+≤.

  【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题:“已知xl≥0,x2≥0,且xl+x2 =1,求证1≤+≤”.本类比题的证明思路为:∵2≤xl+x2=l,∴0≤2≤1,则1≤xl+x2+2≤2,即1≤(+)2≤2,∴1≤+≤.这一证明过程中用到了基本不等式和配方法.这正是要寻找的证明原命题的思路和方法.

  证明:由基本不等式有0≤2≤xi+xj,则

  0≤2≤(n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1

  ∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n,即1≤(++…+)2≤n

  ∴1≤++…+≤.

  所谓归纳,是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式.它由推理的前提和结论两部分构成:前提是若干已知的个别事实,是个别或特殊的判断、陈述,结论是从前提中通过推理而获得的猜想,是普遍性的陈述、判断.其思维模式是:设Mi(i=1,2,…,n)是要研究对象M的特例或子集,若Mi(i=1,2,…,n)具有性质P,则由此猜想M也可能具有性质P.

  如果=M,这时的归纳法称为完全归纳法.由于它穷尽了被研究对象的一切特例,因而结论是正确可靠的.完全归纳法可以作为论证的方法,它又称为枚举归纳法.

  如果是M的真子集,这时的归纳法称为不完全归纳法.由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象,得出的结论只能算猜想,结论的正确与否有待进一步证明或举反例.

  本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想,对于完全归纳法,将在以后结合有关内容(如分类法)进行讲解.

  【例5】证明:任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十.

  【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手,我们可以从特例考察起:先考虑面积为1的正方形,其周长恰为4,对角钱之和为2即.其次考察面积为1的菱形,若两对角线长记为l1、l2,那么菱形面积S=l1·l2,知

  l1+ l2≥2=2=,菱形周长:l=4≥2=4。

  由此,可以猜想:对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑.

  【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形,其有关线段及角标如图.则

  SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα

  ≤ (e+f)(g+h)≤,

  ∴e+f+g+h≥2,即对角线长度之和不小于.

  ∴a+b+c+d≥4,即周长不小于4.

  综上所述,结论得证,

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