计算变力所做的功引力压力和函数的平均值等，由曲线及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为，解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆，平行截面面积为已知的立体的体积。
高等数学讲稿
xx→x0x→∞limf(x)=0,
f(x)x
f(x)x→x0
limx→x0f(x)=∞
M>0
f(x)x→x0
limx→∞f(x)=∞
M>0
f(x)x→∞
2p.54
(1)f(x)
limx→x0+0f(x)=∞
M>0,
f(x)x→x0+0
limx→∞f(x)=+∞M>0
f(x)x→∞x→x0x→∞x→∞limf(x)=∞.f(x)x0δ>0,0<|xx0|<δ|f(x)|>M,f(x)X>0,|x||x|>X|f(x)|>M,1f(x)f(x)x0δ>0,x0<x<x0+δf(x)xX>0,x<X|f(x)|x0f(x)<M,f(x)>M,
limf(x)(x)
B=limf
yn=Ag(x)
)
Q(x)=limx→x0P(x
Q(x.
0)x→∞a0=0,b0=0
b0,n=m+a1xm1+···+am1x+am
xlima0xm→∞0,n>m
∞,n<m
8
u=φ(x)x→x0a,limx→x0φ(x)=a;x0φ(x)=a;limu→af(u)=A,
f[φ(x)]x→x0
xlim→x0f[φ(x)]=A=ulim→af(u)(1)(2)(1)(2)(3)
limβ
α=∞,limβ
αk=c=0,limβα(x)β(x)α(x)k>0,β(x)α(x)k(1)(3)(3)
4.6.y=f(u)g(x)f(x)Ixx∈Ixx=φ(y)Iy={y|y=f(x),x∈Ix}u=φ(x)x=x0φ(x0)=u0,u=u0y=f[φ(x)]x=x0
I=(a,b)+x)f(x0)x=limf(x0x→0df(x)dx,x=x0xx0=f(x0+h)f(x0)hlim→0x=∞f(x)x0f(x0)=∞.y=f(x)I=(a,b)f(x)y=f(x)
y,f(x),dy
dx.
f(x)=(x+x)f(x)
limfx→0
h.f(x)x0f(x)f(x)
h
f+(x0)=limf(x0+h)f(x0)
h→0+0h=limh→0ax+haxh=axlna.
5.(logax)=1
x.f(x)=h→0limloga(x+h)logax
.xh→0limloga1+hhxu→0limloga(1+u)xlna
6.f(x)=|x|x=0
f(x0)(xx0).
f(x0)=∞,x=x0,y=y0
7.y=12,2)
4x+y4=0,2x8y+15=0
8.y=x3
1
2x20)
yy0=3x0(xx0),
3
y0=x
20=3x0(0x0),
x0=4,y0=8.3xy4=0.
y=f(x)x0
limyx→0
x=f(x0)+α(x),
limx→0α(x)=0.
y=f(x0)x+α(x)x,
limx→0y=0,(6)y0=f(x0)
3,x=0
f(0)=∞
(1)
(u(x)±v(x))=u(x)±v(x)
(2)
(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x),
(Cu(x))=Cu(x);
(uvw)=[(uv)w]=(uv)w+(uv)w=uvw+uvw+uvw
(3)u(x)
v(x)2
y=f(x)Ixx∈Ix
x∈Ix,xx,y
y=f(x+x)f(x),
f(x)=limyx→0
y=lim1y→0=1=1xx
φ(y),y=f(x).x=0f(x)=0.
2,π
(siny)=1√(cosy)=1√
(lnx)=1(tany)=11+tan2y=11(coty)=1+cot2y=11(ay)=xlna.
x=y
x,dydxf[φ(x)]
=limy
x→0
u·limux→0π2,(7)
dx=dy
dxu=φ(x).(f[φ(x)])
x=(f)u·(φ)x=f(u)φ(x),
y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),
y=f{φ[ψ(x)]}x
dydu·du
dx=f(u)φ(v)ψ(x),
u=φ(v),v=ψ(x).
3.y=√
2
(cosx)(n)=sinx+n·,π
(1+x)n.
7.(xα)(n)=α(α1)(α2)···(αn+1)xαn
高等数学讲稿(青岛大学)拾贰
Chapter12
§12.1
x3+2x+1=0
sin2x+3cosx+2=0
exy+siny+x=0
(2,5),M(x,y)
dyy=f(x),
dx2x=0.···(1)—
x=2y=5.
11.
y|x=2=5
(1).()y=x2+C.—
y|x=2=5
y=x2+1.—
F(x,y,y,y,···,y(n))=0.···(2)—n
(2)n
y=f(x,C1,C2,···,Cn)((x,y,C1,C2,···,Cn)=0)
(2)
()y|x=x0=y0
yy·|x=x0=
y·(·n1)|x=x1)0=y(n
F(x,y,y,···,y(n))=0y|x=x0=y0,y|x=x0=y0
·y·(·n1)|x=x0=y(n1)
dy2x,
1:x=C1coskt+C2sinkt.(k=0)
dt|t=0=0d2x
dxdt2=k2C1cosktk2C2sinkt.···
d2x
=g(gdt2dxx|t=0=h,)
x|t=0=hdx2gt2+C1t+C2.3.2P3503512.(1,2,3).3.4(2,3).5.6.dygt2+h(x0,2x20
x=1+c)2y=2x+1.
3
.2)2+C=2C=2
§12.2
y=f(x,y).dy.(g(y)=0)—g(y)dy=f(x)dx,g(y)
y=(x)
2
g((x))(x)dx=f(x)dx.g((x))(x)dx=f(x)dx.g(y)dy=f(x)dx.
1.G(y)=F(x)+C(GdyFgf)—
y=2xdxlny=x2+C1.
y=Cex.(C).(C≤0).dx2.y(2)=1=0x2
1x2dx=y2dyy3+C1x3+y3=C.3y(2)=1.8+1=C.2
x3+y3=9.
3.(P360.7
y)dya.().xky(hy).().
ky(hy)
adx=ky(hy)dy.hy3)+C.ax=k(3y=0x=0C=0.k1x=y22
dt2ghdt.=0.62S
[t,t+dt]
dV=πr2dh=π(200hh2)dh.r=
2ghdt=π(200hh2)dh.
dt=
π2gπ2g(400π2t=2g2π(200h212)dh)+C.(40000054.65√)+C.2h|t=0=1000=×142g
C=+3h5
dydydx=1
dxa)dx=a+b
§12.3
dyx)—
(x+y)22dy2(y
=dx1+(y
dyduxdy,y=xu
xdx.(u)u=dx)u+x
1.xdy(x2+y2)
2(y
=dx1+(y
duu+x1+u2
11(1uu
dxx1+u2xxy=2
u+xu+u.xdxdu=u=ln|x|+C0u
u=(ln|x|+C)2.(ln|x|+C≥0)xdu+y=x(ln|x|+C)2
y=0
(y33x2)dy+2xydx=0,y|x=0=12ydy=3x2y23(y
duu+xx3u2
23ux31(+u1x2u13.
y2x2=Cy3
y|x=0y2x2=y3.
4.(2.P362)().
MAT.
LSMT=LOMA=0.
=LOAM=α.
√OM=MPOA=APOP=
yx2+y2
ydx=(x+xx=((dy
dx=u,ydyduu+y1+u2OA=OM,MP=y,OP=x.y2+x2yx
dudy=21+√u
u+C22yu1+u2)=lnylnC.C(y
x+Cd,2)h,
(d2
d28h.
16h.y=2)
—(1)a1x+b1y+c1(c=c1=0)ab=0a1b1ax+by+c=0x=hdy
a1x+b1y+c1=0y=kx=Z+h,y=Y+k,
dx=dZ,dy=dY
5
(1)
5.dYa1Z+b1Y
(2x5y+3)dx(2x+4y6)dy=0.dy
2x+4y62x5y+3=0x=12x+4y6=0y=1.—
=X+1,y=Y+1.dYxu
dX=25
(2+u)(14du=dX
4u)
2+u+
1XdX
ax+by+c
dx=
dx=a+bdy=1
(1)1dxdxva)
dx2xa)=+cy+1
dx=
dvdx=2
v+1
dx=
3(v1)dv=dx
2ln(v1)=x+C1
233ln(2xy1)=x+C1ln(2xy1)=2yx+C
7.dy
x
x+y=u,dy+ydu
dx1
uu
dydx+P(x)y=0.···(2)
()(2)
(2):(1)dy
=2y+sin3x.dxP(x)=2,Q(x)=sin3x.1P(x)dx=2x,Q(x)eP(x)dxdx=sin3xe2xdx=
2.y=C(x)(x+1)n
dC(x)(2sin3x+3cos3x).dy(x+1)ny=dx,Q(x)=ex(x+1)n.x+1P(x)dxy=Ce=C(x+1)n13
dx=exC(x)=ex
y=C(x+1)n+ex(x+1)n
3.(1+x2)y+2xy=1
y=u,(1+x2)u+2xu=1
7
du1+x
u+2
x21dx=ln(1+x2)
1
x
21+P(x)dxQ(x)edydx=1+x21+x2+ln(1+x2)+C2.
(Bernoulli)
dydzz=y1ndx,+P(x)y1n=Q(x).···(6)(6)
dx=C=6yz=6dxdz,ydyy2xdx1
18+ex2
+
1x2y6xdxdxx6
dx==x8
=x+ydyx=Ce+eyyeydydy
=Cey+ey(yeyey)
=Ceyy1.
u+1yln(x+y+1)=C1dyx+y=u,1dxduu+1+1=u)du=dxuln(u+1)=x+C1
x=Ceyy16.y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0
8
xy+y=u
dyy(xy+1)+(1+xy+x2y2)xxy=u,
u32u2+11
2x2y2u)du=1dx+
x=Ce
=Clny2
2xlny=(lny)2+C1()dy8.+1xydyduxy=u,,dxudy9.y=x2y6
xdzz=y5dx11+dx5dx
,Q(x)=5x2
xP(x)dx=5lnx.11Q(x)eP(x)dxdx=5x2
2
x325y5=Cx5+
1=dxdydy+xylny·y1ylnydy
dudy1=yx+y3x3.x2=udy=yx+y3x3
§12.7
y(n)=f(x)
=e2xcosx1.
y=1y
e2x+cosx+C0x+C2y=14
x2,y=1
C0x2+Cx+C3
y=12
2
14x+C1x3+C2x2+C3x+C4=
√dx=f(x,P).
4:(1+x2)y=2xy
dPy=PdP
1+x2P1+x2dxlnP=ln(1+x2)+C0P=Cdy1(1+x2)
3x3)+C2
1=C2,3=C1
y=3x+x3+1
5.y=y+x
y=P,PP=C1ex(x+1)dy=P+xy|x=0=1,y|x=0=3
y=C1ex1z=1x1xz=C12dx1+x2xdyy=ln(2C1+x2)+C222C1+x
y(2)=1C1=0y(2)=2C2=2(1ln2)xy=2+ln(P1dzx=zP+p2=0P2dzxP+P2=0
dxdy=PdP=f(y,P)
7.y=PyP
dPdyyy(y)2=0dPdy=Py
P=C1y
=dxylny=C1x+lnC2
y=C2eC1x
8.yy(y)2+(y)3=0dPy=PyPdy1
yP2=0
P2dz
yP+1z=P1,
dy+1
y1.(y1+1.(
y+1dx
y+1
11
x=C1lny+y+C2
y=C
9.2y=sin2y,y(0)=π
=sin2y=2sinycosydy2P2=siny+C1P=
dx=
1==dxsinyln(cscytanhy)=x+C2πy(0)=dy22,y(0)=1+C1C1=0
=x+C22πy(0)=
2=xtany
y=C1arctanx+11+x2
k1,k2,···,knk1y1+k2y2+···+knyn=0.k1=k2=···=kn=0,y1,y2,···,yn
Th2.y1,y2(1)(),y=C1y1+C2y2(C1,C2)(1)
C1,C2
y1,y2
yy1=C0y2y=C1y1+C2y2=C1C0y2+C2y2=(C1C0+C2)y2.
y+P(x)y+Q(x)y=f(x).···(2)
(1)(2)
Th3.y(2)Y
(2)(1)y=Y+y(2)yY=C1y1+C2y2
yy=Y+y(1)
y+y=x2y1=cosxy2=sinx
y+y=0y+y=0Y=C1cosx+C2sinx
(y+y=x2
Th4.)y+y=x2y=x22y=C1cosx+C2sinx+x22y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x).···(3)
)(y+P(x)y+Q(x)y=f1(x).···(4)
y+P(x)y”+Q(x)y=f2(x).···(5)
y1y2(4)(5)y=y1+y2(3)
(3),(1)Y.(4)(5)y1
y2,y=Y+y1+y2(3)
1.y1(x)=exy2y+y=0y2y+y=1
xu(x)=lnxu(x)=xlnxxy=u(x)y1=u(x)ex.1u(x)ex=
y=x(lnx1)ex
y=C1ex+C2xex+x(lnx1)ex=C1ex+C2xex+xlnxex
y=ex
y=C(x)ex=1
xC(x)=lnx+C0
C(x)=C1+C0x+xlnxx=C1+C2x+xlnxy=C1ex+C2xex+xexlnx
Y=C1ex+C2xex
y=C1(x)ex+C2xex
yy=C(x)ex+C(x)xex+C2ex+C1ex+C2xexC1C2,C1(x)ex+C2(x)xex=0y=C2ex+C1(x)ex+C2(x)xex
xxxxxy=C2(x)ex+c1(x)e+2C2(x)e+C1(x)e+C2(x)xe+C2(x)xey,y,y
C2(x)ex+C1(x)ex+2C2(x)ex+C1(x)ex+C2(x)xex+C2xex2C2(x)ex2C2(x)exxe2C2(x)xex+C1(x)ex+C2(x)xex=
x1C1(x)+C2(x)(x+1)=C1(x)x
=1C2(x)=lnx+C0
C1(x)=x+C1
y=xex+C1ex+xexlnx+C0xex
=C1ex+C2xex+xexlnx
2.(x1)yxy+y=(x1)2(x1)yxy+y=0Y=C1x+C2ex,
y=C1(x)x+C2(x)ex
14
y=C1(x)x+C1(x)+C2(x)ex+C2(x)ex
C1(x)x+C2(x)ex=0.
y=C1(x)+C2ex.
y=C1(x)+C2(x)ex+C2(x)ex
y,y,y
xxxx2(x1)(C1(x)+C2(x)e+C2(x)e)xC1(x)xC2(x)e+C1(x)x+C2(x)e=(x1)C1(x)+C2(x)ex=x1C1(x)x+C2(x)ex=0C1(x)=1C2(x)=xexC1(x)=C0xC2(x)=C2(x+1)ex
y=C0x+C2exx2x1=C1x+C2ex(x2+1)
§12.9
y+py+qy=0.···(1).(p,q
(1))(1),
y=erx(1)()
r2erx+prerx+qerx=0
r2+pr+q=0.cdots(2)
r(2).
r(2)
(2)r1.2
r1=r2y=erxp±=2(1)(i)
y1=er1xp24q>0y2=er2x(1)y1
y1=er1x2.
y2=C(x)er1x(1)
2C(x)er1x+2r1C(x)er1x+r1C(x)er1x+pC(x)er1x+r1pC(x)er1x+qC(x)er1x=0
2C(x)+(2r1+p)C(x)+(r1+r1p+q)C(x)=0
C(x)=0C(x)=x.
y2=xer1x(1)
y=C1er1x+C2xer1x
(iii)p24q<0r1=α+iβ,r2=αiβ.
15
y1=e(α+iβ)xy2=e(αiβ)x(1)(1)0(α+iβ)x0(αiβ)xy=C1e+C2e.
e(α+iβ)x=eαx(cosβx+isinβx)
e(αiβ)x=eαx(cosβxisinβx)
=eαx(C1cosβx+C2sinβx).00αx00y=(C1+C2)ecosβx+(C1C1)ieαxsinβx
2i2(y1y2)=eαxsinβx
(1)(y1+y2)=eαxcosβxy2
(1)y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
(1)
(1)()r2+pr+q=0
(1)(2)r1,r2(3)
r1=r2
r1=r2y=C1er1x+C2er2xy=(C1+C2x)er1x
y=eα(C1cosβx+C2sinβx)
yy2y=0
y+4y+4y=0r1=α+iβ,r2=αiβ1.y=C1ex+C2e2x2.
y=(C1+C2x)e2x
3.y2y+3y=0√r22r+3=0r1,2=1±√2x+C2sin
y=(C1+C2x)cosx+(C3+C4x)sinx
8.y
r22y4y=0y|x=0=0,y|x=0=53r4=0r1=1,r2=4.
+C2ey=C1ex4x
C1+C2=0
CC1+4C2=51=1
C2=1
y=exe4x
§12.10
y+py+qy=f(x).···(1)(p,q)
y+py+qy=0.···(2)
(2)(1)
(1)f(x)
f(x)=eλxPm(x)
Pm(x)m
λx(1)y=Q(x)e(Q(x)).
(1)
y=eλx[λQ(x)+Q(x)]
y=eλx[λ2Q(x)+2λQ(x)+Q(x)]
Q(x)+(2λ+p)Q(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).···(3)
(i)λr2+pr+q=0
λ2+pλ+q=0.Pm(x)m(3)mQ(x)mQm(x)=b0xm+b1xm1+···+bm(3)(ii)pr+q=0λ2r2+λ+pλ+q=0.p+2λ=0.mQ(x)=xQm(x)=b0xm+1+b1xm+···+bmx.(iii)λpr+q=0r2+λ2+pλ+q=0p+2λ=0,m+2Q(x)=x2Qm(x)=b0xm+b1xm+1+···+bmx2.
(1)ky=xQm(x)eλx.k=0,1,2,λ
n
1.y
f(x)=3x+12,yλ=03,yP=3x+1m(x)=3x+1.
r22r3=0.λ=0
17Q(x)Q(x)
λ=0
y=ax+b.
2a3ax3b=3x+1.1.a=1,b=32.y2y+y=2xex
r22r+1=0r1=r2=1y2y+y=0
Y=(C1+C2x)ex.
f(x)=2xex,λ=1.
y=x2(ax+b)ex
(6ax+2b)ex=2xexb=0.a=
31x3ex.
y=(C1+C2+1
y=C1e2x+C2e3x12,b=1.
2
P(x)+PnP(x)em(λiω)x22Pn+Pneiωxeiωxm=max{l,n}.
(1)
y+py+qy=P(x)e(λ+iω)x.···(4)
y+py+qy=
Qm(x)e(λiω)x
k=0,1
(1)
18
y=xkQme(λ+iω)x+xk
Qm(cosωxisinωx)]
=xkeλx[Rmcosωx+Rmsinωx](1)(2)
Rm4.(1)Rm(2)mny+4y+4y=cos2x
r2+4r+4=0r1=r2=2.
Y=(C1+C2x)e2x.
λ=0,ω=2,Pl(x)=1,Pn(x)=0.
y=acos2x+bsin2x.
(2i)
4acos2x4bsin2x8asin2x+8bcos2x+4acos2x+4bsin2x=cos2x1a=0,b=
8sin2x
y=(C1+C2x)e2x+1
y=x(
1=144sinx)
y2:3λ=1
y2=axex
4aex=exa=
4xex.1y2y3y=exr22r3=0
19
y=1
4xex
(r22r3=0,r1=1,r2=3)
1
4Y=C1ex+C2e3xy=C1ex+C2e3x+xex.
§12.11
xny(n)+P1xn1y(n1)+···+Pn1xy+Pny=f(x).···(1)
x=et
dydtdy·dtx1dy=dx2dt2
1d2y=3dx3dt3
dD=dt)
f(t)=3e.22tx+C3x3
y=be2t=bx2.
2bx28bx2=3x2b=12x2.
y=C1+
x2=2C22x2.
2.yy
y=x(lnx)22axlnx+2axax(lnx)22axlnx+ax(lnx)2=2xa=1
y=(C1+C2lnx)x+x(lnx)2§12.13
1.+z),
dzdydxdy(=2yz···(2)(2dzd2zdx)y.y=
11dx
dx2(2)(1)
dx2
1+2dz22dx(2C1+C2+2C2x)exdy5
dt2
5dt+y=t···(1)dy2.5x+(t2dyd2ydt=3(2tdt)+2
dt3y)+dy
dt2+y=2t23tY=C1cost+C2sint
y=at2+bt+c
a=2,b=3,c=4.2a+at2+bt+c=2t23ty=2t23t4.5y=C1cost+C2sint+2t23t41x=1(C13C2)sint
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第06章 定积分的应用
高等数学教案 §6 定积分的应用
教学目的 第六章定积分的应用
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点：
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知
的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：
1、 截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6 1定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设yf (x)0 (x[a b]) 如果说积分
Aabf(x)dx
是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数
A(x)axf(t)dt
就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af (x)dxf (x)dx称为曲边梯形的面积元素
以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以
[a b]为积分区间的定积分
Abaf(x)dx
一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得
Uabf(x)dx
用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)
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§6 2定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1．直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元
素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为
S[f上(x)f下(x)]dx a
类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的
面积为
S[右(y)左(y)]dyc
例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积
解 (1)画图
(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1]
(3)确定上下曲线f上(x)x,f下(x)x2
(4)计算积分
S(xx)dx[x2x3]100333213bd
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积
解 (1)画图
(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4]
(3)确定左右曲线左(y)y2,右(y)y42
(4)计算积分
4S(y4y2)dy[y24yy3]42182226
2y2x1所围成的图形的面积例3 求椭圆2ab2
解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx所以
S4ydx 0a
椭圆的参数方程为:
xa cos tyb sin t
于是 S40ydx4bsintd(acost)
2a0
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2 4absintdt2ab(1cos2t)dt2abab00222
2．极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为
dS[()]2d2
曲边扇形的面积为
S[()]2d2
例4. 计算阿基米德螺线a (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积
2解: S0(a)2da2[3]0a2323322
例5. 计算心形线a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积
解: S20[a(1cos]2da20(2coscos2)d222
a2sin2] a2[2sin0242
二、体 积
1．旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体
设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f (x)]dx 于是体积元素为
dV[f (x)]2dx
旋转体的体积为
Va[f(x)]2dx
例1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积
解: 直角三角形斜边的直线方程为yrxhb2
所求圆锥体的体积为
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2h2h1hrV0(rx)2dxr2[1x3]0h33h
例2 计算由椭圆x
a22yb221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积
解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆
ybaa2x2
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为
dVy 2dx
于是所求旋转椭球体的体积为
Vaaba22(a2x)dx2ba22[ax213a4ab2x]a33
例3计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积
解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
Vxy2dxa2(1cost)2a(1cost)dt 00
a3(13cost3cos2tcos3t)dt 0
5 2a 3
所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则
22Vy0x2(y)dyx1(y)dy 02a2a22a2
2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt
a30(tsint)2sintdt6 3a 3
2．平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx立体的体积为
VaA(x)dx
例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积
解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边b2
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高等数学教案 §6 定积分的应用 分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为
A(x)221(Rx)tan2 于是所求的立体体积为
RR23RtanVR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R2233
例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积
解: 取底圆所在的平面为x O y 平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x (R<x<R)作垂直于x轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形 这截面的面积为
A(x)hyhR2x2
于是所求正劈锥体的体积为
VhRxdx2Rh02cos2d1R2hR2R222
三、平面曲线的弧长
设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2 Mi1 MiMn1 MnB并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向
n
一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线
i1弧AB是可求长的
定理光滑曲线弧是可求长的
1．直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程
yf(x)(axb)
给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度
取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为
(dx)2(dy)2ydx2
从而得弧长元素(即弧微分)
dsydx2
以y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为
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s
a
b
2
ydx
在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为dsy2dx这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度
3解 yx 从而弧长元素
dsydx
2
123
xdx
因此 所求弧长为
s
a
b
b22
xdx[(1x)2]a[(1b)2(1a)2]
33333
例2 计算悬链线ycch上介于xb与xb之间一段弧的长度
c
解 yshx 从而弧长元素为
c
dssh2
dxchdx
cc因此 所求弧长为
s
xdx2bchxdx2c[shxdx]b2cshbch0bc0ccc
b
2．参数方程情形
设曲线弧由参数方程x(t)、y(t) (t )给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数因为
dydx
(t)(t)
dx(t)d t所以弧长元素为
2
(t)
ds(t)
2
(t)dt
22(t)(t)dt
所求弧长为
s
22(t)(t)dt
例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(02 )的长度解 弧长元素为
dsa(1cos)
2
2
asinda2(1cos)d2asin
222
d
所求弧长为
s
0
2
2asin
2
d2a[2cos
2
]02
8a3．极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程
()( )
给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cosy()sin() 于是得弧长元素为
dsx()y()d
2
2
2()2()d
从而所求弧长为
s
2()2()d
例14求阿基米德螺线a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长解弧长元素为
dsa
2
2
ada1
22d
于是所求弧长为
s
0
2
2
ada[22
142
ln(214
2
)]
§6 3功水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为
Fkqr2
(k是常数)
当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a<b)处时 计算电场力F对它所作的功例1电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b)处求电场力对单位正电荷所作的功
提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fk
qr2
(k是常数)
解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为
W
b
qr2
drqr2
drkq2
a
111
drkq[b
akq()abrr
例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀
把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k即
pVk 或p
kV解: 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为
FpS
kkSxSxx
k
当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为dx k
即功元素为dWdx
x
于是所求的功为
W
bka
x
k[lnx]bklna
b
a
例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为
dW882xdx
此即功元素 于是所求的功为
25x25
(kj)W88.2xdx88.2[]088.2
022
5
3
二、水压力
从物理学知道 在水深为h处的压强为ph这里是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为
PpA
如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算
例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力
解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx得压力元素为
dP2xR2x2dx
所求压力为
P2xRxdx
0R2
2
0
R
(R2
22x)
d(R2x2)
2r32RR [(R2x2)2]0
3
3
3
三、引力
从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为
FGm1m2r2
其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向
如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算
例5 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力
例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力
解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知
引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l,l] 在[l,l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于
2
2
2
2
是在水平方向上 引力元素为
dFxG
mdya2y2
aay
2
2
G
amdy(a2y2)3/2
引力在水平方向的分量为
Fxl
2l2
G
amdy(ay)
2
23/2
2Gmla
14al
2
2
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