考研数学线性代数必考的知识点

2022-01-27 考研资讯

  漫长的学习生涯中,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点就是一些常考的内容,或者考试经常出题的地方。还在苦恼没有知识点总结吗?以下是小编帮大家整理的考研数学线性代数必考的知识点,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。

  考研数学线性代数必考的知识点 篇1

  考研数学线性代数必考的重点

  一、行列式与矩阵

  第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练掌握。行列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算

  二、向量与线性方程组

  向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。向量与线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

  三、特征值与特征向量

  相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”。

  四、二次型

  本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”,其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

  考研数学概率以大纲为本夯实基础

  从考试的角度,大家看看历年真题就发现比较明显的规律:概率的题型相对固定,哪考大题哪考小题非常清楚。概率常考大题的地方是:随机变量函数的分布,多维分布(边缘分布和条件分布),矩估计和极大似然估计。其它知识点考小题,如随机事件与概率,数字特征等。

  从学科的角度,概率的知识结构与线性代数不同,不是网状知识结构,而是躺倒的树形结构。第一章随机事件与概率是基础知识,在此基础上可以讨论随机变量,这就是第二章的内容。随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。考生也可以看看考研真题,数一、数三概率考五道题,这五题的第一句话为“设随机变量X……”,“设总体X……”,“设X1,X2,…,Xn为来自X的简单随机样本”,无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。所以随机变量的理解至关重要。讨论完随机变量之后,讨论其描述方式。分布即为描述随机变量的方式。分布包括三种:分布函数、分布律和概率密度。其中分布函数是通用的描述工具,适用于所有随机变量,分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。之后讨论常见的离散型和连续性随机变量,考研范围内需要考生掌握七种常见分布。

  介绍完一维随机变量之后,推广一下就得到了多维随机变量。多维分布总体上分成三种:联合分布,边缘分布和条件分布。其中每种分布又细分为分布函数、分布律和概率密度。只不过条件分布函数我们不考虑。该章常考大题,常考随机变量函数的分布和边缘分布、条件分布。之后讨论随机变量的独立性。

  分布包含着随机变量的全部信息,如果只关心部分信息就要考虑数字特征了。数字特征考小题。把公式性质记清楚,多练习即可。

  大数定律和中心极限定理是偏理论的内容,考试要求不高。

  数理统计是对概率论的应用。其中考大题的地方是参数估计(矩估计和极大似然估计),考小题的点是常用统计量及其数字特征,三大统计分布,正态总体条件下统计量的特殊性质。

  看来还是需要以考研大纲为基础,扎实学好基础知识,掌握基本的解题技巧,才能有效的攻破概率论考题。最后,除了要嘱咐大家扎实学习基础知识外,还要提醒各位考生合理安排复习计划,对概率论的复习切不可掉以轻心。

  考研数学三题型的考察特点分析

  一、填空及选择题

  实际上相当于一些简单的计算题,用于考察“三基”及数学性质。选择题大致可分为三类:计算性的、概念性的与推理性的。主要是考查考生对数学概念、数学性质的理解,并能进行简单的推理、判定和比较。

  二、证明题

  对于数三来说高等数学证明题的范围大致有:极限存在性、不等式,零点的存在性、定积分的不等式、级数敛散性的论证。线性代数有矩阵可逆与否的讨论、向量组线性无关与相关的论证、线性方程组无解、唯一解、无穷多解的论证,矩阵可否对角化的论证,矩阵正定性的论证,关于秩的大小并用它来论证有关问题等等,可以说线代的证明题的范围比较广。至于概率统计证明题通常集中于随机变量的不相关性和独立性,估计的无偏性等。

  三、综合以及应用题

  综合题考查的是知识之间的有机结合,此类题难度一般为中等难度。同样每一试卷中都有一至二道应用题,前几年研究生考试中就考察了一道有关于经济类利息率的应用题,而合并后数三的应用题更会涉及经济方面,所以考生在平时一定要加强对经济类应用题的复习。

  考研数学线性代数必考的知识点 篇2

  线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之,可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

  线性方程组

  线性方程组的特点:方程是未知数的一次齐次式,方程组的数目s和未知数的个数n可以相同,也可以不同。

  关于线性方程组的解,有三个问题值得讨论:

  1、方程组是否有解,即解的存在性问题;

  2、方程组如何求解,有多少个;

  3、方程组有不止一个解时,这些不同的解之间有无内在联系,即解的结构问题。

  高斯消元法

  这最基础和最直接的求解线性方程组的方法,其中涉及到三种对方程的同解变换:

  1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;

  2、交换某两个方程的位置;

  3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

  任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

  由具体例子可看出,化为阶梯形方程组后,就可以依次解出每个未知数的值,从而求得方程组的解。

  对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置,所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来,形成一张表,通过研究这张表,就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

  可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组,这至少在书写和表达上都更加简洁。

  系数矩阵和增广矩阵

  高斯消元法中对线性方程组的初等变换,就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组,对应的是阶梯形矩阵。换言之,任意的线性方程组,都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵,求得解。

  阶梯形矩阵的特点:左下方的元素全为零,每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

  对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结(有唯一解、无解、有无穷多解),再经过严格证明,可得到关于线性方程组解的判别定理:首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形,若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项,则方程组无解,若未出现d=0一项,则方程组有解;在方程组有解的情况下,若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n,方程组有唯一解;若r<n,则方程组有无穷多解。

  在利用初等变换得到阶梯型后,还可进一步得到最简形,使用最简形,最简形的特点是主元上方的元素也全为零,这对于求解未知量的值更加方便,但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中,选择阶梯形还是最简形,取决于个人习惯。

  齐次方程组

  常数项全为零的线性方程称为齐次方程组,齐次方程组必有零解。

  齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数,则方程组一定有非零解。

  利用高斯消元法和解的判别定理,以及能够回答前述的基本问题:解的存在性问题和如何求解的问题,这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

  对于n个方程n个未知数的特殊情形,我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解,这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点:有n!项,每项的符号由角标排列的逆序数决定,是一个数。

  通过对行列式进行研究,得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等),这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

  用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况,这就是克莱姆法则。

  总而言之,可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。

  考研数学线性代数必考的知识点 篇3

  线性代数占考研数学总分值的22%,约34分,以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多,但要把这5个题目的分值完全收入囊中,则需要进行重点题型重点突破。

  矩阵的秩

  矩阵是解决线性方程组的解的有力工具,矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容,熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容,利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用,使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成,每一个元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的`秩!

  通过几十年考研考试命题,命题老师对题目的形式在不断地完善,这也要求大家深入理解概念,灵活处理理论之间的关系,能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解,对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解,对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握,对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等,都需要在对概念理解的基础上,联系地看问题,及时总结结论。

  矩阵的特征值与特征向量

  矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用,也是将二次型标准化、规范化的便捷方式,故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量,须理清其相互关系,也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值,元素均为1的列向量是其对应的特征向量),会处理含参数的情况。

  线性方程组求解

  对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理,含参数的方程组是考查的重点,对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题),已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解,求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解,系数矩阵降秩,行列式为0,可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。

  二次型标准化与正定判断

  二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质,但毕竟这是一类特殊矩阵,判断一个矩阵是否属于这个特殊类,可以使用正定矩阵的几个充要条件,例如二次型矩阵的特征值是否全大于0,顺序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

  历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析

  考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查,从近几年的考研数学历年真题分析结果来看,可以得出一个结论:线性代数的难度在高数和概率统计之间,且大多数的同学认为线性代数试题难度不大,就是计算量稍微偏大点,线代代数的考查是对基本方法的考查,但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。

  线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强,这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中,注意对于知识点间的关联性进行对比着学习,有助于巩固知识点且不易混淆。

  总体来说,线性代数主要包括六部分的内容,行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

  一、行列式部分,熟练掌握行列式的计算。

  行列式实质上是一个数或含有字母的式子,如何把这个数算出来,一般情况下很少用行列式的定义进行求解,而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算,或是采用降阶法(按行或按列展开定理),甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。

  二、矩阵部分,重视矩阵运算,掌握矩阵秩的应用

  通过考研数学历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外,含随矩阵的矩阵方程,矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的应用,包含秩与矩阵可逆的关系,矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系,矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价的区别与联系,系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

  三、向量部分,理解相关无关概念,灵活进行判定。

  向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

  这是线性代数前三个内容的命题特点,而行列式的矩阵是整个线性代数的基础,对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握,否则的话,对于后面四部分的学习会越学越难,希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习,为后面的考研数学复习打好基础。

  前面我们已经分析过,考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强,有些概念较为抽象,这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学,根本找不到复习的头绪,做题时也是一头雾水,不知道怎么分析考虑。

  这里,老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性,理解概率的实质。如:矩阵的秩与向量组的秩之间的关联,矩阵等价与向量组等价的区别,矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚,则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过,大家也不要太焦急,希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会,学习一定要有心得。

  下面我们分析一下后面三部分的内容,线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。

  线性方程组,会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽,很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组,我们需要掌握基础解系的概念,以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况,掌握其求解的方法。此外,考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

  特征值与特征向量,掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的,理解特征值与特征向量的定义及性质,矩阵相似的定义,矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化,若可以的话,需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型,已知矩阵的特征值与特征向量,反求矩阵A。

  二次型,理解二次型标准化的过程,掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题,一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

  虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题,占有34分的分值,但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻,做考研数学题过程中多分析总结。

  2016考研数学概率解题9大常用思路

  在考研数学一和考研数学三中,概率论与数理统计部分大约占22%,虽然所占比重较小,但是大家在复习的时候,一样会感到困难重重,特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。为了帮助大家在解题时更轻松一点,小编给大家分享一些考研数学概率解题常用思路集锦。

  1、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式。

  2、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式

  3、若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组。

  4、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0,1)来处理有关问题。

  5、求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而的求法类似。

  6、欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率,应该马上联想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

  7、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作(0-1)分解。

  8、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题,马上联想到用中心极限定理处理。

  9、若为总体X的一组简单随机样本,则凡是涉及到统计量的分布问题,一般联想到用分布,t分布和F分布的定义进行讨论。

  2016考研数学线性代数知识点整理

  第一章行列式

  1、行列式的定义

  2、行列式的性质

  3、特殊行列式的值

  4、行列式展开定理

  5、抽象行列式的计算

  第二章矩阵

  1、矩阵的定义及线性运算

  2、乘法

  3、矩阵方幂

  4、转置

  5、逆矩阵的概念和性质

  6、伴随矩阵

  7、分块矩阵及其运算

  8、矩阵的初等变换与初等矩阵

  9、矩阵的等价

  10、矩阵的秩

  第三章向量

  1、向量的概念及其运算

  2、向量的线性组合与线性表出

  3、等价向量组

  4、向量组的线性相关与线性无关

  5、极大线性无关组与向量组的秩

  6、内积与施密特正交化

  7、n维向量空间(数学一)

  第四章线性方程组

  1、线性方程组的克莱姆法则

  2、齐次线性方程组有非零解的判定条件

  3、非齐次线性方程组有解的判定条件

  4、线性方程组解的结构

  第五章矩阵的特征值和特征向量

  1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质

  2、相似矩阵的概念及性质

  3、矩阵的相似对角化

  4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

  第六章二次型

  1、二次型及其矩阵表示

  2、合同变换与合同矩阵

  3、二次型的秩

  4、二次型的标准型和规范型

  5、惯性定理

  6、用正交变换和配方法化二次型为标准型

  7、正定二次型及其判定

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